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> On 30 Des, 11:47, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> > ¿Existen enteros n y m tales que
> > n^2 + 7m^2 = 1290346
> > ?
> > --
> > Antonio
> Fácil: no. véase módulo 4.
> Más difícil: ¿existen enteros m y n tales que
> n^2 + 7m^2 = 1290347
> ?
> Jordi
A mi lo que me ha llamado siempre la atención es la resolución de estas ecuaciones enteras en el ya clásico recurso de Dario Alejandro Alpern: http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM. Si resolvemos la ecuacion paso a paso nos dice que: Verificaremos la ecuación módulo los divisores primos de 7. Hasta aquí de acuerdo. Despues nos dice: Ahora resolveremos esta ecuación módulo 9, 16 y 25. Esto ya no lo entiendo.¿Mrando la ecuación segun estos modulos puedo garantizar la existencia de soluciones?.Opino que no
Yo simplemente miraria la ecuaicion módulo 7 quedandome n^2=2 (mod 7) con lo que n=3 y n=4 (mod 7 ) Con esto solo se que debo de seguir y buscar soluciones. Alperton lo que hace es ver que hay soluciones modulo 9,16 y 25.Hay soluciones en esos modulos y por tanto debe de seguir para concluir que NO hay soluciones..
Para la ecuacion de Antonio, Alperton encuentra soluciones mod 5 y 25 y no encuentra soluciones usando mod 16, así que concluye que no hay soluciones enteras. Es decir que con mirar la ecuaciones modulo 9,16 y 25 no garantizo tampoco la existencia de soluciones por lo que me quedo con lo que ya sabiamos: Si la ecuacion la miramos bajo cierto módulo y no tiene soluciones ya no hay que seguir mas. Si tiene soluciones bajo cierto módulo simplemente, puede tener soluciones pero no me garantiza que las tenga y habrá que seguir buscandolas. Por lo que creo que debe de tomar los números 9,16, y 25 como podria haber tomado otros cualesquiera.No le encuentro otra explicación.
León-Sotelo wrote: > On 30 dic, 19:27, Loki <diesjoripac...@gmail.com> wrote: >> On 30 Des, 11:47, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
>>> ¿Existen enteros n y m tales que
>>> n^2 + 7m^2 = 1290346
>>> ?
>>> --
>>> Antonio
>> Fácil: no. véase módulo 4.
>> Más difícil: ¿existen enteros m y n tales que
>> n^2 + 7m^2 = 1290347
>> ?
>> Jordi
> A mi lo que me ha llamado siempre la atención es la resolución de > estas ecuaciones enteras en el ya clásico recurso de Dario Alejandro > Alpern: > http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM. > Si resolvemos la ecuacion paso a paso nos dice que: > Verificaremos la ecuación módulo los divisores primos de 7. > Hasta aquí de acuerdo. > Despues nos dice: > Ahora resolveremos esta ecuación módulo 9, 16 y 25. > Esto ya no lo entiendo.¿Mrando la ecuación segun estos modulos puedo > garantizar la existencia de soluciones?.Opino que no
> Yo simplemente miraria la ecuaicion módulo 7 quedandome n^2=2 (mod 7) > con lo que > n=3 y n=4 (mod 7 ) > Con esto solo se que debo de seguir y buscar soluciones. > Alperton lo que hace es ver que hay soluciones modulo 9,16 y 25.Hay > soluciones en esos modulos y por tanto debe de seguir para concluir > que NO hay soluciones..
> Para la ecuacion de Antonio, Alperton encuentra soluciones mod 5 y 25 > y no encuentra soluciones usando mod 16, así que concluye que no hay > soluciones enteras. > Es decir que con mirar la ecuaciones modulo 9,16 y 25 no garantizo > tampoco la existencia de soluciones por lo que me quedo con lo que ya > sabiamos: > Si la ecuacion la miramos bajo cierto módulo y no tiene soluciones ya > no hay que seguir mas. > Si tiene soluciones bajo cierto módulo simplemente, puede tener > soluciones pero no me garantiza que las tenga y habrá que seguir > buscandolas. > Por lo que creo que debe de tomar los números 9,16, y 25 como podria > haber tomado otros cualesquiera.No le encuentro otra explicación.
Bueno, 16 tiene la ventaja de que los únicos restos cuadráticos (mod 16) son 0, 1, 4 y 9, lo que reduce bastante las posibilidades.
El estudiar las ecuaciones en Z/Zp solo sirve para descartar que existan soluciones. Como ya se discutió por aqui hace tiempo, creo recordar, hay ecuaciones que tienen soluciones en Z/Zp para cualquier p, pero no tienen soluciones en Z.
La propuesta por Jordi no se si puede descartarse estudiándola en algún módulo, no lo encontré. Pero en cualquier caso es sencillo resolverla por fuerza bruta, ya que debe ser |m| < 430. Pero ¿y si cambiamos el signo?. Es decir
n^2 - 7m^2 = 1290347
-- Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote: > León-Sotelo wrote: > > On 30 dic, 19:27, Loki <diesjoripac...@gmail.com> wrote: > >> On 30 Des, 11:47, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> >>> ¿Existen enteros n y m tales que
> >>> n^2 + 7m^2 = 1290346
> >>> ?
> >>> --
> >>> Antonio
> >> Fácil: no. véase módulo 4.
> >> Más difícil: ¿existen enteros m y n tales que
> >> n^2 + 7m^2 = 1290347
> >> ?
> >> Jordi
> > A mi lo que me ha llamado siempre la atención es la resolución de > > estas ecuaciones enteras en el ya clásico recurso de Dario Alejandro > > Alpern: > >http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM. > > Si resolvemos la ecuacion paso a paso nos dice que: > > Verificaremos la ecuación módulo los divisores primos de 7. > > Hasta aquí de acuerdo. > > Despues nos dice: > > Ahora resolveremos esta ecuación módulo 9, 16 y 25. > > Esto ya no lo entiendo.¿Mrando la ecuación segun estos modulos puedo > > garantizar la existencia de soluciones?.Opino que no
> > Yo simplemente miraria la ecuaicion módulo 7 quedandome n^2=2 (mod 7) > > con lo que > > n=3 y n=4 (mod 7 ) > > Con esto solo se que debo de seguir y buscar soluciones. > > Alperton lo que hace es ver que hay soluciones modulo 9,16 y 25.Hay > > soluciones en esos modulos y por tanto debe de seguir para concluir > > que NO hay soluciones..
> > Para la ecuacion de Antonio, Alperton encuentra soluciones mod 5 y 25 > > y no encuentra soluciones usando mod 16, así que concluye que no hay > > soluciones enteras. > > Es decir que con mirar la ecuaciones modulo 9,16 y 25 no garantizo > > tampoco la existencia de soluciones por lo que me quedo con lo que ya > > sabiamos: > > Si la ecuacion la miramos bajo cierto módulo y no tiene soluciones ya > > no hay que seguir mas. > > Si tiene soluciones bajo cierto módulo simplemente, puede tener > > soluciones pero no me garantiza que las tenga y habrá que seguir > > buscandolas. > > Por lo que creo que debe de tomar los números 9,16, y 25 como podria > > haber tomado otros cualesquiera.No le encuentro otra explicación.
> Bueno, 16 tiene la ventaja de que los únicos restos cuadráticos (mod 16) son > 0, 1, 4 y 9, lo que reduce bastante las posibilidades.
> El estudiar las ecuaciones en Z/Zp solo sirve para descartar que existan > soluciones. Como ya se discutió por aqui hace tiempo, creo recordar, hay > ecuaciones que tienen soluciones en Z/Zp para cualquier p, pero no tienen > soluciones en Z.
> La propuesta por Jordi no se si puede descartarse estudiándola en algún > módulo, no lo encontré. Pero en cualquier caso es sencillo resolverla por > fuerza bruta, ya que debe ser |m| < 430. Pero ¿y si cambiamos el signo?. Es > decir
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote: > León-Sotelo wrote: > > On 30 dic, 19:27, Loki <diesjoripac...@gmail.com> wrote: > >> On 30 Des, 11:47, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> >>> ¿Existen enteros n y m tales que
> >>> n^2 + 7m^2 = 1290346
> >>> ?
> >>> --
> >>> Antonio
> >> Fácil: no. véase módulo 4.
> >> Más difícil: ¿existen enteros m y n tales que
> >> n^2 + 7m^2 = 1290347
> >> ?
> >> Jordi
> > A mi lo que me ha llamado siempre la atención es la resolución de > > estas ecuaciones enteras en el ya clásico recurso de Dario Alejandro > > Alpern: > >http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM. > > Si resolvemos la ecuacion paso a paso nos dice que: > > Verificaremos la ecuación módulo los divisores primos de 7. > > Hasta aquí de acuerdo. > > Despues nos dice: > > Ahora resolveremos esta ecuación módulo 9, 16 y 25. > > Esto ya no lo entiendo.¿Mrando la ecuación segun estos modulos puedo > > garantizar la existencia de soluciones?.Opino que no
> > Yo simplemente miraria la ecuaicion módulo 7 quedandome n^2=2 (mod 7) > > con lo que > > n=3 y n=4 (mod 7 ) > > Con esto solo se que debo de seguir y buscar soluciones. > > Alperton lo que hace es ver que hay soluciones modulo 9,16 y 25.Hay > > soluciones en esos modulos y por tanto debe de seguir para concluir > > que NO hay soluciones..
> > Para la ecuacion de Antonio, Alperton encuentra soluciones mod 5 y 25 > > y no encuentra soluciones usando mod 16, así que concluye que no hay > > soluciones enteras. > > Es decir que con mirar la ecuaciones modulo 9,16 y 25 no garantizo > > tampoco la existencia de soluciones por lo que me quedo con lo que ya > > sabiamos: > > Si la ecuacion la miramos bajo cierto módulo y no tiene soluciones ya > > no hay que seguir mas. > > Si tiene soluciones bajo cierto módulo simplemente, puede tener > > soluciones pero no me garantiza que las tenga y habrá que seguir > > buscandolas. > > Por lo que creo que debe de tomar los números 9,16, y 25 como podria > > haber tomado otros cualesquiera.No le encuentro otra explicación.
> Bueno, 16 tiene la ventaja de que los únicos restos cuadráticos (mod 16) son > 0, 1, 4 y 9, lo que reduce bastante las posibilidades.
> El estudiar las ecuaciones en Z/Zp solo sirve para descartar que existan > soluciones. Como ya se discutió por aqui hace tiempo, creo recordar, hay > ecuaciones que tienen soluciones en Z/Zp para cualquier p, pero no tienen > soluciones en Z.
> La propuesta por Jordi no se si puede descartarse estudiándola en algún > módulo, no lo encontré. Pero en cualquier caso es sencillo resolverla por > fuerza bruta, ya que debe ser |m| < 430. Pero ¿y si cambiamos el signo?. Es > decir
> n^2 - 7m^2 = 1290347
> -- > Saludos,
> Ignacio Larrosa Cañestro > A Coruña (España) > ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
> - Mostrar texto de la cita -
Esta ecuación módulo 4 seria n^2-3m^2=3 Para: m=0, n^2=3 sin soluciones m=1, n^2=2 sin soluciones m=2, n^2=3 sin soluciones m=3, n^2=2 sin soluciones
No hay soluciones mod 4 luego no hay que buscar mas.
Loki wrote: > On 31 dic, 01:05, "Ignacio Larrosa Cañestro" > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote: >> León-Sotelo wrote: >>> On 30 dic, 19:27, Loki <diesjoripac...@gmail.com> wrote: >>>> On 30 Des, 11:47, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
>>>>> ¿Existen enteros n y m tales que
>>>>> n^2 + 7m^2 = 1290346
>>>>> ?
>>>>> --
>>>>> Antonio
>>>> Fácil: no. véase módulo 4.
>>>> Más difícil: ¿existen enteros m y n tales que
>>>> n^2 + 7m^2 = 1290347
>>>> ?
>>>> Jordi
>>> A mi lo que me ha llamado siempre la atención es la resolución de >>> estas ecuaciones enteras en el ya clásico recurso de Dario Alejandro >>> Alpern: >>> http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM. >>> Si resolvemos la ecuacion paso a paso nos dice que: >>> Verificaremos la ecuación módulo los divisores primos de 7. >>> Hasta aquí de acuerdo. >>> Despues nos dice: >>> Ahora resolveremos esta ecuación módulo 9, 16 y 25. >>> Esto ya no lo entiendo.¿Mrando la ecuación segun estos modulos puedo >>> garantizar la existencia de soluciones?.Opino que no
>>> Yo simplemente miraria la ecuaicion módulo 7 quedandome n^2=2 (mod >>> 7) con lo que >>> n=3 y n=4 (mod 7 ) >>> Con esto solo se que debo de seguir y buscar soluciones. >>> Alperton lo que hace es ver que hay soluciones modulo 9,16 y 25.Hay >>> soluciones en esos modulos y por tanto debe de seguir para concluir >>> que NO hay soluciones..
>>> Para la ecuacion de Antonio, Alperton encuentra soluciones mod 5 y >>> 25 y no encuentra soluciones usando mod 16, así que concluye que no >>> hay soluciones enteras. >>> Es decir que con mirar la ecuaciones modulo 9,16 y 25 no garantizo >>> tampoco la existencia de soluciones por lo que me quedo con lo que >>> ya sabiamos: >>> Si la ecuacion la miramos bajo cierto módulo y no tiene soluciones >>> ya no hay que seguir mas. >>> Si tiene soluciones bajo cierto módulo simplemente, puede tener >>> soluciones pero no me garantiza que las tenga y habrá que seguir >>> buscandolas. >>> Por lo que creo que debe de tomar los números 9,16, y 25 como podria >>> haber tomado otros cualesquiera.No le encuentro otra explicación.
>> Bueno, 16 tiene la ventaja de que los únicos restos cuadráticos (mod >> 16) son 0, 1, 4 y 9, lo que reduce bastante las posibilidades.
>> El estudiar las ecuaciones en Z/Zp solo sirve para descartar que >> existan soluciones. Como ya se discutió por aqui hace tiempo, creo >> recordar, hay ecuaciones que tienen soluciones en Z/Zp para >> cualquier p, pero no tienen soluciones en Z.
>> La propuesta por Jordi no se si puede descartarse estudiándola en >> algún módulo, no lo encontré. Pero en cualquier caso es sencillo >> resolverla por fuerza bruta, ya que debe ser |m| < 430. Pero ¿y si >> cambiamos el signo?. Es decir
>> n^2 - 7m^2 = 1290347
>> --
> No. véase módulo 4.
Si, quería cambiar el signo para que fuese hiperbólica, pero no me di cuenta que así también cambiaba el resto de 7 (nod 4).
> Mejor preguntemos por:
> n^2 - 7m^2 = 1290346
1290346 = 2*23*28051
Por tanto, n^2 = 7m^2 (mod 23)
Pero los restos cuadráticos (mod 23) son:
[0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18]
que multiplicados por 7 dan
[0, 7, 14, 21, 5, 19, 10, 17, 15, 22, 20, 11]
Todos no-restos cuadráticos, excepto 0. Luego deben ser ambos n y m múltiplos de 23. Esto nos deja
23s^2 - 7*23*t^2 = 2*28051
que evidentemente carece de soluciones y por tanto, la ecuación
n^2 - 7m^2 = 1290346
tampoco las tiene.
> Feliz año!
Igualmente, feliz 7^2*41 = 28^2 + 35^2
-- Saludos,
Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com> wrote: > León-Sotelo wrote: > > On 30 dic, 19:27, Loki <diesjoripac...@gmail.com> wrote: > >> On 30 Des, 11:47, Antonio González <gonfe...@gmail.com> wrote:
> >>> ¿Existen enteros n y m tales que
> >>> n^2 + 7m^2 = 1290346
> >>> ?
> >>> --
> >>> Antonio
> >> Fácil: no. véase módulo 4.
> >> Más difícil: ¿existen enteros m y n tales que
> >> n^2 + 7m^2 = 1290347
> >> ?
> >> Jordi
> > A mi lo que me ha llamado siempre la atención es la resolución de > > estas ecuaciones enteras en el ya clásico recurso de Dario Alejandro > > Alpern: > >http://www.alpertron.com.ar/CUAD.HTM. > > Si resolvemos la ecuacion paso a paso nos dice que: > > Verificaremos la ecuación módulo los divisores primos de 7. > > Hasta aquí de acuerdo. > > Despues nos dice: > > Ahora resolveremos esta ecuación módulo 9, 16 y 25. > > Esto ya no lo entiendo.¿Mrando la ecuación segun estos modulos puedo > > garantizar la existencia de soluciones?.Opino que no
> > Yo simplemente miraria la ecuaicion módulo 7 quedandome n^2=2 (mod 7) > > con lo que > > n=3 y n=4 (mod 7 ) > > Con esto solo se que debo de seguir y buscar soluciones. > > Alperton lo que hace es ver que hay soluciones modulo 9,16 y 25.Hay > > soluciones en esos modulos y por tanto debe de seguir para concluir > > que NO hay soluciones..
> > Para la ecuacion de Antonio, Alperton encuentra soluciones mod 5 y 25 > > y no encuentra soluciones usando mod 16, así que concluye que no hay > > soluciones enteras. > > Es decir que con mirar la ecuaciones modulo 9,16 y 25 no garantizo > > tampoco la existencia de soluciones por lo que me quedo con lo que ya > > sabiamos: > > Si la ecuacion la miramos bajo cierto módulo y no tiene soluciones ya > > no hay que seguir mas. > > Si tiene soluciones bajo cierto módulo simplemente, puede tener > > soluciones pero no me garantiza que las tenga y habrá que seguir > > buscandolas. > > Por lo que creo que debe de tomar los números 9,16, y 25 como podria > > haber tomado otros cualesquiera.No le encuentro otra explicación.
> Bueno, 16 tiene la ventaja de que los únicos restos cuadráticos (mod 16) son > 0, 1, 4 y 9, lo que reduce bastante las posibilidades.
> El estudiar las ecuaciones en Z/Zp solo sirve para descartar que existan > soluciones. Como ya se discutió por aqui hace tiempo, creo recordar, hay > ecuaciones que tienen soluciones en Z/Zp para cualquier p, pero no tienen > soluciones en Z.
> La propuesta por Jordi no se si puede descartarse estudiándola en algún > módulo, no lo encontré. Pero en cualquier caso es sencillo resolverla por > fuerza bruta, ya que debe ser |m| < 430. Pero ¿y si cambiamos el signo?. Es > decir
> n^2 - 7m^2 = 1290347
> -- > Saludos,
> Ignacio Larrosa Cañestro > A Coruña (España) > ilarrosaQUITARMAYUSCU...@mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
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Efectivamente, como dice Ignacio el applet verifica la ecuación modulo 9, 16 y 25 para filtrar la mayoría de los casos en los que la ecuación no tiene solución. De esta manera se acorta la explicación en el desarrollo paso a paso.
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