3x^2 - 2y^2 = 1

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(1, 1) es una solución que salta a la vista. Un poco más, pero no mucho,
cuesta ver que (9, 11) es otra. Pero ya puestos, y dándonos cuenta de que la
cosa va de multiplicar por más o menos por 10, llegamos a (89, 109). Aquí
vemos que tanto x como y verifican, con  distintos valores iniciales, la
misma relación de recurrencia de 2º orden que esperamos encontrar en una
diofántica cuadrática:

x(k) = 10x(k-1) - x(k-2), x(0) = 1, x(1) = 9
y(k) = 10y(k-1) - y(k-2), y(0) = 1, y(1) = 11

Calculamos (x(3), y(3)) con esta relación, y resulta ser (881, 1079), que
también verifica la ecuación ...Luego ya esta claro.

x(k) = 1, 9, 89, 881, 8721, 86329, 854569, 8459361, 83739041, 828931049,
8205571449, ...

y(k) = 1, 11, 109, 1079, 10681, 105731, 1046629, 10360559, 102558961,
1015229051, 10049731549, ...

Si queremos la solución explícita, usamos la ecuación característica:

r^2 - 10r + 1 = 0  ===>  r = 5 +/- 2rq(6)

x(k) = A(5 + 2rq(6))^k + B(5 - 2rq(6))^k

x(0) = 1 = A + B  ==>  B = 1 - A
x(1) = 9 = A(5 + 2rq(6)) + (1 - A)(5 - 2rq(6))  ===>

A = (3 + rq(6))/6,  B = (3 - rq(6))/6

x(k) = ((3 + rq(6))/6)(5 + 2rq(6))^k + ((3 - rq(6))/6)(5 - 2rq(6))^k

y(k) = A(5 + 2rq(6))^k + B(5 - 2rq(6))^k

y(0) = 1 = A + B  ==>  B = 1 - A
x(1) = 11 = A(5 + 2rq(6)) + (1 - A)(5 - 2rq(6))  ===>

A = (2 + rq(6))/4,  B = (2 - rq(6))/4

y(k) = ((2 + rq(6))/4)(5 + 2rq(6))^k + ((2 - rq(6))/4)(5 - 2rq(6))^k

Es fácil comprobar que estos (x(k), y(k) cumplen la ecuación para todo k
entero. No mucho más difícil debe ser comprobar que todas las soluciones
deben ser así.

ii) Menos rápido, aunque más ortodoxo. Multiplicando por 3,

9x^2 - 6y^2 = 3

Haciendo z = 3x,

z^2 - 6y^2 = 3  (#2)

Que tiene las soluciones asequibles a mano (z, y) = (3, 1), (27, 11)

Busquemos las soluciones de la ecuación de Pell estándar asociada:

u^2 - 6v^2 = 1   (#3)

La solución mínima no trivial es (u, v) = (5, 2), la trivial es (1, 0).
Entonces, todas las soluciones son de la forma

u(k) + rq(6)v(k) = (5 + 2rq(6))^k = (5 + 2rq(6))(u(k-1) + rq(6)v(k-1))

u(k) = 5u(k-1) + 12v(k-1)
v(k) = 2u(k-1) +  5v(k-1)

De la primera,

12v(k-1) = u(k) - 5u(k-1)

En la segunda,

12v(k) = 24u(k-1) + 5u(k) - 25u(k-1) = 5u(k) - u(k-1)

12v(k-1) = 5u(k-1) - u(k-2)

u(k) = 10u(k-1) - u(k-2)

como era de suponer. La ecuación característica y sus raíces ya las
conocemos, así que:

u(k) = A(5 + 2rq(6))^k + B(5 - 2rq(6))^k

u(0) = 1 = A + B  ==>  B = 1 - A
u(1) = 5 = A(5 + 2rq(6)) + (1 - A)(5 - 2rq(6))  ===>

A = B = 1/2

u(k) = (1/2)((5 + 2rq(6))^k + (5 - 2rq(6))^k)

u(k) = 1, 5, 49, 485, 4801, ...

v(k) verifica la misma recurrencia, aunque con distintos valores iniciales,

v(k) = A(5 + 2rq(6))^k + B(5 - 2rq(6))^k

v(0) = 0 = A + B ===>  B = - A
v(1) = 2 = A((5 + 2rq(6)) - (5 - 2rq(6)))  ==>

A = - B = 1/(2rq(6))

v(k) = (1/(2rq(6)))((5 + 2rq(6))^k - (5 - 2rq(6))^k)

v(k) = 0, 2, 20, 198, 1960, ...

Una familia de soluciones de la ecuación #2, se obtiene de combinar las
soluciones de #3 con una solución de #2,

z(k) + rq(6)y(k) = (3 + rq(6))(u(k) + rq(6)v(k))

z(k) - rq(6)y(k) = (3 - rq(6))(u(k) - rq(6)v(k))

z(k) = 3(u(k) + 2v(k))  ===>

x(k) = u(k) + 2v(k)

y(k) = u(k) + 3v(k)

Comprobamos fácilmente que 3x(k)^2 - 2y(k)^2 = u(k)^2 - 6v(k)^2 = 1

x(k) = 1, 9, ...;  z(k) = 3, 27, ...;  y(k) = 1, 11, ...

No es necesario probar con otra solución de #3, pues ya sabemos que si #3
tienen distintas familias de soluciones, obtenidas combinado una de sus
soluciones con las de #2, éstas están intercaladas.

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Saludos,

  x(n+1) = 5x(n) + 4y(n)        x(1) = 1
  y(n+1) = 6x(n) + 5y(n)        y(1) = 1

Y también existen otros métodos. Por ejemplo

iii) Método hiperbólico

Hagamos

  x = cosh(t)/rq(3)

  y = senh(t)/rq(2)

es sencillo demostrar que

  t(n) = (2n+1)t(0)        t(0) = arccosh(rq(3))

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Haciendo

  z = 1 - rq(2/3)

nos queda la ecuación

  z^2 - 2z + 1/3 = 0

que equivale a

  z = 1/(3(2-z))

o, lo que es lo mismo

  z = 1/(6 - 1/(2-z))

Calculando sucesivas iteraciones y luego hallando

  X = 1-z

nos quedan las fracciones

   1/1,
   9/11,
   89/109,
   881/1079,
   8721/10681,
   86329/105731,
   854569/1046629
   ...

Haciendo

   z(n) = 1- x(n)/y(n)

resulta la recurrencia

   x(n+1) = 5x(n) + 4y(n)

   y(n+1) = 6x(n) + 5y(n)

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